Question

设函数

（Ⅰ）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；

（Ⅱ）对任意的实数，证明 :（是的导函数）；

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】本试题主要考查了二项式定理的运用，以及二项式系数的最大项的问题，和运用函数的思想解决不等式的恒成立问题的综合运用。

(1)中，根据二项式系数的性质可知，二项式系数的最大项取决于幂指数为奇数还是偶数来得到

（2）中利用均值不等式的思想，表示出

和放缩法的思想得到

（Ⅰ）【解析】
展开式中二项式系数最大的项是第3项，这项是

（Ⅱ）证法一：因

证法二：

因

而

故只需对和进行比较。

令，有  由，得

因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，

从而有，亦即故有恒成立。

所以，原不等式成立。