Question

(本小题满分13分)

已知三次函数的导函数，，，为实数。

（1）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；

（2）若在区间上的最小值、最大值分别为和1，且，求函数的解析式。

Answer

（Ⅰ）  ；（Ⅱ） = 。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解曲线的切线方程和函数的极值以及函数的最值的综合运用。

（1）利用导数的几何意义表述出切线的斜率，就是导数值，然后得到结论。

（2）利用已知关系式求解导数得到导数为正或者为负时的解集，得到单调区间，进而分析最值问题的运算。

解析：（Ⅰ）由导数的几何意义=12  ……………1分

∴       ∴   ∴  …………………4分

（Ⅱ）∵ ， 

∴                 ……6分

由  得，

∵ ［-1，1］，

∴ 当［-1，0)时，，递增；

当（0，1］时，，递减。……………9分

∴ 在区间［-1，1］上的最大值为

∵ ，∴ =1 ……………………11分

∵ ，

∴  ∴ 是函数的最小值，

∴   ∴

∴ =  ………………13分