Question

（本小题共14分）已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．          

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．

Answer

（Ⅰ）．

（Ⅱ）直线过定点（）．

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用。

（1）利用椭圆的性质得到关于系数a,b,c的关系式，然后求解得到椭圆的方程。

（2）对于直线斜率是否存在进行分类讨论，然后设出直线与椭圆联立方程组，借助于韦达定理和斜率的关系式得到直线恒过定点。

【解析】
（Ⅰ）由已知可得 ，

          所求椭圆方程为．                              ………5分

（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．

设，，

由  得 ．    

则．                        ………8分

由已知，所以，

即．                                ………10分

所以，整理得 ．

故直线的方程为，即（）．

所以直线过定点（）．                            ………12分

若直线的斜率不存在，设方程为，

设，，   由已知，

得．此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．                    ………14分