Question

（本小题满分14分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当处取得极值时，若关于的方程上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）求证：当时，有

Answer

（1）增区间：，减区间：； （2） 

（3）见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的单调区间和极值问题以及运用导数证明不等式的问题的综合运用。

（1）分析定义域，然后求导，然后对于导数大于零或者小于零作出讨论，得到单调区间。

（2）因为当处取得极值时，若关于的方程上恰有两个不相等的实数根，结合函数图像来得到不等式。

（3）由（1）、（2）可得，当为增函数

，然后放缩法得到证明。

（1）

        增区间：     减区间：……………………3分

（2）   

令

为增函数，为减函数，为增函数……………………5分

则…………………………………………………7分

（3）由（1）、（2）可得，当为增函数

…………………………………………10分

令………………………………12分

则

                                  ………………13分

………………………………………………14分