Question

(本题12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦点在圆上．

 ⑴求椭圆的方程；

⑵设、、是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使．

①试求直线与的斜率的乘积；

②试求的值．

Answer

(1) ．(2) (i) ，

(ii) =．

【解析】(1)易知焦点坐标为(-1,0),(1,0),再根据离心率求出a,进而求出b的值.从而确定椭圆的方程.

(2)设，设,因，

故,再根据M在椭圆上，可得,

然后再利用点A、B在椭圆上这个条件，得到两个方程，以此对上面的方程化简，可求出直线与的斜率的乘积.

(ii) 因为=,然后可以根据（i）的结论，得到,

从而,又因，所以.问题到此得以解决.

(1)依题意得,  于是． 

所以所求椭圆的方程为．

      (2) (i)设，则    ①

    ②．

又设,因，

故

因在椭圆上，

故

整理得：

将①②代入上式，并由得

所以

(ii)，

故

又

故

所以，=．