Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．

 (1) 求出，并猜测的表达式；

(2) 求证：＋＋＋…＋．

Answer

 (1) f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝25＋4×4＝41. f(n)＝2n2－2n＋1.

(2)略

【解析】本试题主要是考查了数列的归纳猜想思想的运用，根据前几项。来猜想并运用数学归纳法加以证明。

（1）结合题目中的 递推关系式可知前几项的值，并猜想结论。

（2）分为两步骤进行，先证明n取第一个值时成立，再假设n=k时成立，证明n=k+1时也成立即可。

解析：(1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴ f(5)＝25＋4×4＝41.

(2)∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…

f(2)－f(1)＝4×1，∴ f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，又n＝1时，f(1)也适合f(n)．∴ f(n)＝2n2－2n＋1.

(3)当n≥2时，＝＝，

∴ ＋＋＋…＋＝1＋

＝1＋＝－.