Question

（本题满分14分）已知函数

(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；

(Ⅱ)求的单调区间；

(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ），解得. 

（Ⅱ）的单调递增区间是和，单调递减区间是.                     

（Ⅲ）.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，导数的几何意义的运用和函数单调性的判定，以及不等式的恒成立问题的综合运用。

（1）根据已知条件函数在给定两点出的切线平行说明导数值相等，然后得到参数的值。

（2）进而求解导数，分析导数的正负，得到不等式的解集，即为函数的单调增减区间的求解，

（3）要满足f(x)得最大值小于g(x)函数的最大值即可。

【解析】
.   ---------2分

（Ⅰ），解得.  ---------3分

（Ⅱ）. 

①当时，，，

在区间上，；在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是.  

②当时，， 在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.      

③当时，， 故的单调递增区间是.                     

④当时，， 在区间和上，；在区间上，

故的单调递增区间是和，单调递减区间是.                     ---------9分

（Ⅲ）由已知，在上有.                         ---------10分

由已知，，由（Ⅱ）可知，

①当时，在上单调递增，

故，

所以，，解得，

故.                                                 

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

故.

由可知，，，

所以，，，                                

综上所述，.

                                               ---------14分