Question

(本小题满分11分)对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：

①在内是单调函数；

②当定义域是时，的值域也是．

则称是该函数的“和谐区间”．

（1）证明：是函数的一个“和谐区间”．

（2）求证：函数不存在“和谐区间”．

（3）已知函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．

Answer

【解析】
（1）区间是的一个“和谐区间”．

（2）函数不存在“和谐区间”．

（3）当时，取最大值.

【解析】本试题主要是结合了函数的单调性和函数的定义域和值域的有关系概念，对于新定义“和谐区间”的理解和灵活的运用。

（1）在区间上单调递增，并且满足第二点又，，值域为，故得到结论。

（2）假设存在一个区间满足题意，利用反比列函数的性质可知，没有和谐区间。

（3）根据已知条件可知，函数存在和谐区间，那么可以设出区间，再分析函数的单调性，得到定义域和值域的关系，进而得到结论。

【解析】
（1）在区间上单调递增．

又，，值域为，

区间是的一个“和谐区间”．…………2分

（2）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．

若是已知函数的“和谐区间”，则

故、是方程的同号的相异实数根．

无实数根，函数不存在“和谐区间”．………………5分

（3）设是已知函数定义域的子集．，或，故函数在上单调递增．

若是已知函数的“和谐区间”，则

故、是方程，即的同号的相异实数根．

，，同号，只须，即或时，已知函数有“和谐区间”，，

当时，取最大值………………11分