Question

(本小题满分11分)  已知函数，其中．

 (1) 当时，求的单调区间；

(2) 证明：对任意，在区间内存在零点．

Answer

解:(1) (I) 的单调增区间是，，单调减区间是．

(II) 的单调增区间是，，单调减区间是．

 (2) (I)对任意，在区间内存在零点．

(II)对任意，在区间内存在零点．

【解析】本试题主要是考查了函数的零点的概念，以及函数的单调区间的求解的综合运用。

（1）利用导数的思想，先分析函数的导数，然后确定参数t的值对于单调区间的影响，分类讨论得到结论。

（2）由上可知，当时，在内单调递减，在内单调递增．需要讨论与讨论的区间的相互位置关系，然后得到结论。

解:(1) ，令，解得或．…………1分

因为，所以要分为和讨论．

(I) 若,则.

当变化时，，的变化情况如下表：

单调递增

单调递减

单调递增

所以，的单调增区间是，，单调减区间是．…………3分

(II) 若,则.

当变化时，，的变化情况如下表：

单调递增

单调递减

单调递增

所以，的单调增区间是，，单调减区间是．…………5分

 (2) 由(Ⅱ)可知，当时，在内单调递减，在内单调递增．需要讨论与讨论的区间的相互位置关系．

(I) 当，即时，在内单调递减，

因为，，

所以对任意，在区间内存在零点．…………7分

(II) 当，即时，在内单调递减，在内单调递增．

若，，

．

所以对任意，在区间内存在零点．

若，，

．

所以对任意，在区间内存在零点．

所以对任意，在区间内存在零点．

综上，对任意，在区间内存在零点．…………11分