Question

 （本小题10分）已知函数．

   （1）试讨论的单调性；

   （2）如果当时，，求实数的取值范围；

   （3）记函数，若在区间上不单调, 求实数的取值范围．

Answer

【解析】
（1）①若，则，所以在上单调递增

②若，则由，得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；

（2） ；（3）   .

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。解决不等式的恒成立问题，和函数的单调性的逆向运用的综合试题。

（1）首先求解导数，根据的分子为含有参数的二次函数，那么结合二次不等式进行分情况讨论得到单调区间。

（2）利用当时，，结合上一问的单调性，确定最值，解得a的范围。

（3）利用等价转化思想在区间上不单调，然后分离变量求解参数的取值范围。

【解析】
（1）的定义域为，

                     ……2分

①若，则，所以在上单调递增

②若，则由，得，且当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；                                                ……4分

（2）由（1）知：

  ①若时，在上单调递增，所以，不合；

②若时， 在上单调递增，在上单调递减；所以，又，不合；

③若时， 在上单调递减；所以，

 综上所述，                                              …………7分

（3）

    在区间上不单调

    变量分离得， 

，求得的值域为      ……10分