Question

（本小题15分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足

（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式并证明，（3） 求

Answer

【解析】

（1）a1=1，a2=，a3=；

（2）数列{an}的通项公式可能是：an=，证明见解析。

（3）Sn==

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和的关系式的运用，令值的思想得到前几项，然后归纳猜想数列的通项公式，并运用数学归纳法证明，

（1）由题意可知，那么对于n令值，那么可知a2=

a3=

(2)根据上一问的结论，数列{an}的通项公式可能是：an=，然后运用数学归纳法分两步骤证明即可。

（3）因为通项公式累加可以得到前n项和的结论。

【解析】

（1）S1=1/2(a1+1/a1)

        又S1=a1

        故1/2(a1+1/a1)=a1

        即a12=1   因为a1>0

        故a1=1

           S2=1/2(a2+1/a2)

        又S2=a1+a2=1+a2

        故1/2(a2+1/a2)=1+a2 (a2>0)

        解得：a2=

        同理：a3=

（2）从（1）中可看出：数列{an}的通项公式可能是：an=

        假设an=成立

证明：

  ① 当n=1时，an=1=      假设成立

  ② 当n=2时，an==     假设成立

  ③ 假设n=i时，假设成立，即

     ai=

     Si=(+()+()+…+()=

     那么，当n=i+1时

     由sn=1/2(an+1/an)得

     Si+1=1/2(ai+1+1/ai+1)

     ai+1=Si+1-Si=1/2(ai+1+1/ai+1)-

     解得：ai+1=  由①②③可证明假设an=成立

     an通项公式为：an=

（3）Sn==