Question

（本题满分14分）如图，已知平面平面，与分别是棱长为1与2的正三角形，//，四边形为直角梯形，//，，点为的重心，为中点，，

（Ⅰ）当时，求证：//平面

（Ⅱ）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值.

【解析】（1）只须证：连接AG并延长交CE于P点，连接PB，PD，易证NPDF为平行四边形，然后根据平行线分分段成比例关系证DM//PF即可.

(2) 由于本小题建系比较容易，所以易采用空间向量法求二面角即可.先求出二面角两个面的法向量，然后根据法向量的夹角与二面角相等或互补进行计算.

（Ⅰ）连延长交于，

因为点为的重心，所以

又，所以，所以//；

因为//，//，所以平面//平面，

又与分别是棱长为1与2的正三角形，

为中点，为中点, //,又//，

所以//，得四点共面

//平面

（Ⅱ）平面平面，易得平面平面，

以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

，

，

因为与所成角为，所以，

得，，，

设平面的法向量，则，取，

面的法向量，

所以二面角的余弦值.