Question

已知函数，其中。。

（1）若是函数的极值点，求实数a的值；

（2）若函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；

（2）；

（3）

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）根据是函数的极值点，得到在该点处的导数值为零得到参数a的值。

（2）函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，则利用导数恒小于等于2.5求解实数a的取值范围；

（3）因为函数在上有两个零点，则利用导数来分析函数的单调性，得到极值与x轴的位置关系，得到结论。

【解析】

      ------------------2分

（1）且           ---------4分

（2）对任意的恒成立      -----------5分

对任意的恒成立   

而当时，取最大值为1，

，且，        --------------------7分

（3），且

；或；

在和上递增；而在上递减。 ----8分

当时

i），则在上递增，在上不可能有两个零点。-9分

ii），则在上递减，而在上递增。      

在上有极小值（也就是最小值）

而

时，在上有两个零点。---------------------12分

iii），则在上递减，在上不可能有两个零点。--13分

综上所述：            -------------------14分