Question

（本小题满分14分）

在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）． (即

（1）写出此数列的前5项；

（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．

Answer

（1），；

（2），证明见解析

【解析】(1)此条件的本质是，然后令n=1,2,3,4,5，求出前5项即可。

（2）根据求得的前5项可以归纳出,由于要证明的结论与n有关，可以考虑采用数学归纳法进行证明：证明要分两个步骤进行：（i）说明n=1时命题成立。（2）先假设n=k时，命题成立；再证明n=k+1时，命题也成立，在证明时要用上n=k时的归纳假设。

【解析】
（1）由已知，，分别取，

得，，，

，所以数列的前5项是：，

．＿＿4分

（2）由（1）中的分析可以猜想．＿＿＿＿＿＿6分

下面用数学归纳法证明：

①当时，公式显然成立．②假设当时成立，即，那么由已知，

得，

即，所以，

即，又由归纳假设，得，

所以，即当时，公式也成立．

由①和②知，对一切，都有成立． ----------14分