Question

（本小题满分14分）

已知函数.

(1)求在[0,1]上的极值；

(2)若对任意,不等式成立,求实数的取值范围；

(3)若关于的方程在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数的取值范围.

Answer

(1) 为函数在[0,1]上的极大值

(2) 或

(3)

【解析】(1)求导，利用导数研究其单调区间和极值。导数等于零的点，若导数值满足左正右负那么此点处取极大值，若是左负右正，此点处取极小值。

（2）解本小题的关键是先去绝对值把不等式转化为或,然后再构造函数,,利用导数分别求h(x)的最大值，和g(x)的最小值即可。

【解析】
（1），

令，得或（舍去）．当时， ,单调递增；

当时，单调递减．为函数在[0,1]上的极大值.  --4分

(2)由得

或,①    -------------6分

设,,

，

,

与都在上单调递增,要使不等式①成立,

当且仅当或,即或.  ---------------9分

(3)由.

令,则,

当时,,于是在上递增；

当时,,于是在上递减.

而,，    ---------------11分

即在[0,1]恰有两个不同实根等价于

，----------13分

．    --14分