Question

.（满分12分）某射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分。已知射手在100米处击中目标的概率为，他的命中率与目标距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。

（1）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；

（2）求这名射手在比赛中得分的数学期望。

Answer

（1）为1-P(D)=

 (2)

【解析】本试题主要是考查了概率的运用。古典概型概率的计算，以及相互独立事件概率的乘法公式的综合运用，以及数学的分布列和期望值的求解问题。

（1）由于记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A,B,C,“三次都未击中”为事件D，则P(A)= 设在x米处击中概率为P(x)则P(x)= ，根据因为 x=100时P(A)= 所以k=5000,得到解析式。从而得到各个事件的概率值，

（2）根据上一问中概率值，可知随机变量取值的各个概率值，然后得到分布列和数学期望值。

记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A,B,C,“三次都未击中”为事件D，

则P(A)= 设在x米处击中概率为P(x)则P(x)=  

因为 x=100时P(A)= 所以k=5000,       P(x)=

P(B)=       P(C)=  P(D)=

（1）为1-P(D)=

 (2)