Question

（本小题满分12分）设函数的图象上两点P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，若，且点P的横坐标为．

(1)，求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；

(2)，求

(3)，记T_n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围。

Answer

(1)见解析；(2)；(3).

【解析】本试题主要考查了函数，与向量，以及数列的知识的综合运用。以函数为模型，确定点的坐标关系式，进一步结合向量得到结论，并利用倒序相加法求解和，同时利用裂项求和得到不等式的证明。

（1）由于点在函数图像上，同时满足，那么利用坐标化简得到结论。

（2）根据f (x1)＋f (x2)＝y1＋y2＝1，f (1)＝2－，结合倒序相加法求解得到结论。

（3）根据已知的和式得到，裂项求和的数学思想得到证明。

(1)证：∵，∴P是P1P2的的中点Þx1＋x2＝1------(2分)

∴

    ∴．-----------------------------(4分)

(2)【解析】
由(1)知x1＋x2＝1，f (x1)＋f (x2)＝y1＋y2＝1，f (1)＝2－， ，

相加得

(n－1个1)∴．------------(8分)

(3)【解析】

   --------------------（10分） Û ∵≥8，当且仅当n＝4时，取“＝”    ∴，因此，-------------------（12分）