Question

（本小题满分12分）已知，函数

（1）当时，求函数在点(1，)的切线方程；

(2)求函数在[－1，1]的极值；

(3)若在上至少存在一个实数x₀，使>g(x_o)成立，求正实数的取值范围。

Answer

（Ⅰ） 函数在点(1，)的切线方程为；

（Ⅱ）当即时，的极大值是，极小值是

①         当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 

综上所述   时，极大值为，无极小值

时  极大值是，极小值是  

（Ⅲ）（，）   .

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。 利用导数的几何意义求解切线方程，并结合导数的符号与单调性的关系，求解函数的极值，并分析方程根的问题的综合运用。

（1）先求解函数定义域和导数，然后得到切点处的导数值即为切线的斜率，利用点斜式得到方程。

（2）因为是关于含有参数的二次函数形式，那么对于参数a分情况讨论得到单调性和极值问题。

（3）构造新的函数设，，利用导数的思想求解其最大值即可。便可以得到a的范围。

【解析】
（Ⅰ）∵  ∴

∴  当时，  又 

∴  函数在点(1，)的切线方程为 --------4分

（Ⅱ）令   有 

②         当即时

（－1，0）

0

（0，）

（，1）

+

0

－

0

+

极大值

极小值

故的极大值是，极小值是

③         当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 

综上所述   时，极大值为，无极小值

时  极大值是，极小值是        ----------8分

（Ⅲ）设，

对求导，得

∵，    

∴ 在区间上为增函数，则

依题意，只需，即 

解得  或（舍去）

则正实数的取值范围是（，）     ----------12分