Question

定义在上的函数，，当时，，且对任意的

，有，

(1)求的值；

（2）求证：对任意的，恒有；

（3）判断的单调性，并证明你的结论。

Answer

(1)        (2) 见解析  （3） 在上为增函数  

【解析】本试题主要是考察了函数的奇偶性和函数的单调性的证明，以及函数值符号的判定的综合运用。

（1）利用赋值思想得到结论f(0)=1

(2)由于当时， ，，当时，

当时 ， 利用互为倒数可知，结论成立。

（3）利用单调性的定义，作差，然后判定与零的大小关系得到。注意结合题中的关系式的变换得到。

【解析】
(1)              ………………2分

(2) 当时， ，，当时，

当时 ，  ∵ ∴

所以对任意的恒有       ………………6分

（3）设，则

 由题知 ，∴ 

在上为增函数