Question

 （本小题满分10分）

已知数列，其前项和为.

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；

（Ⅲ）如果数列满足，请证明数列是等比数列，并求其前项和.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.。

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式与前n项和之间的关系的转化，以及等差数列的该奶奶，以及数列求和的综合运用。

（Ⅰ）对于n赋值为1,2,得到首项和第二项的值。

（Ⅱ）根据第一问中前两项，可以归纳猜想也可以通过当时，

，得到数列的通项公式，并证明数列是等差数列；

（Ⅲ）由已知得 ，

∵

然后借助于等比数列的通项公式求和得到结论。

【解析】
（Ⅰ）， ，得…   2分

（Ⅱ）当时，

．           ………4分

又满足，

 ．       ………5分

∵    ，

∴数列是以5为首项，为公差的等差数列．      ………6分

   （Ⅲ）由已知得 ，

∵   ，又，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.       ………8分

.           ………10分