Question

设，．

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立

Answer

（1）的最小值为(2)（3）。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的极值问题，以及函数的单调性和大小比较的运用。

（1）先求解定义域和导数，然后令导数大于零或者小于零，得到单调区间，进而确定极值和最值。

（2）设

然后后根据导数的思想确定单调性得到最值，比较大小。

（3）由（1）知的最小值为1，所以，

，对任意，成立

从而得到结论。

（1）由题设知，

∴令0得=1，

当∈（0，1）时，＜0，是减函数，故（0，1）是的单调减区间。

当∈（1，+∞）时，＞0，是增函数，故（1，+∞）是的单调递增区间，

因此，=1是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，

所以的最小值为

(2)

设，则，

当时，，即，

当时，，

因此，在内单调递减，

当时，

即

（3）由（1）知的最小值为1，所以，

，对任意，成立

即从而得。