Question

（本题满分12分）

某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:

①输入1时，输出结果是；

②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n-5，再除以3n+1.

（1）   求f(2),f(3),f(4);

（2）  试由（1）推测f(n)（其中）的表达式，并给出证明.

Answer

（1）;;.    

(2)猜想：（其中），以下用数学归纳法证明：见解析。

【解析】本试题主要是考查了数列的归纳猜想思想的运用，以及运用数学归纳法求证恒等式的综合运用。

（1）由题设条件知f(1)= ,=,对于n令值，然后得到前几个值。

（2）猜想：（其中）并运用数学归纳法，运用两步来证明其成立。

【解析】
由题设条件知f(1)= ,=,

;

;

.       ………………………………3分

(2)猜想：（其中）……………………5分

以下用数学归纳法证明：

（1）   当时，，

所以此时猜想成立。                ………………………………6分

（2）   假设时，成立

  那么时，

……………9分

所以时，猜想成立。

由（1）（2）知，猜想：（其中）成立。

…………………………12分