Question

(本题满分12分)

已知函数,为实数，.

（Ⅰ）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；

（Ⅲ）设函数，试判断函数的极值点个数．

Answer

（Ⅰ），为所求． （Ⅱ）或．

（Ⅲ）当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，

可知函数有两个极值点．

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为函数,为实数，.求解导数。判定单调性和最值，结合在区间上的最小值、最大值分别为、1得到参数、的值；

（2）在（Ⅰ）的条件下，先求解导数值，然后得到经过点且与曲线相切的直线的方程；

（Ⅲ）设函数，函数的极值点个数就是分析单调性来得到结论。

【解析】
（Ⅰ）由，得，．

∵，，

∴ 当时，，递增；

当时，， 递减．

∴ 在区间上的最大值为，∴．……………………2分

又，，∴ ．

由题意得，即，得．

故，为所求．                 ………………………………4分

（Ⅱ）【解析】
由（1）得，，点在曲线上．

⑴ 当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即． ……………………5分

⑵当切点不是切点时，设切点为，

切线的斜率，

∴ 的方程为 ．

又点在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴．

 ∴ 切线的方程为

故所求切线的方程为或．  ………………………………8分

（Ⅲ）【解析】
．

∴

二次函数的判别式为

，

令，得：

令，得    ………………………………10分

∵，，

∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，

可知函数有两个极值点．               ………………………………12分