Question

（本小题满分10分）

已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于交圆于点，．

（1）求证：平分；

（2）求的长．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】本试题主要是考查了圆内的性质和相似三角形的几何性质的综合运用。

（1）连结，因为，所以，

     因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，然后利用角的相等得到证明。

（2）由（Ⅰ）知， 连结，因为四点共圆，

结合相似比得到线段的长。

【解析】
（Ⅰ）连结，因为，所以，                     2分

     因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，

所以，，所以平分．········ 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，························ 6分

连结，因为四点共圆，，所以，···· 8分

所以，所以．······················· 10分