Question

（本小题满分12分）已知函数．

   （1）讨论的单调性；

   （2）设，证明：当时，；

   （3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，

证明：（x₀）＜0．

Answer

【解析】

（1） 单调增加，在单调减少.

  （2）当.

故当， 

  （3）见解析。

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解单调性和及证明不等式等知识的运用。

（1）先求解然后求解

对于参数a分情况讨论得到单调区间。

  （2）构造函数则其导数为

然后分析导数大于零或者小于零的解即可。

  （3）由（1）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为，这样结合可知分析得到结论。

【解析】

（1） 

（i）若单调增加.

（ii）若且

所以单调增加，在单调减少.  ………………4分

  （2）设函数则

当.

故当，   ………………8分

  （3）由（1）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为不妨设由（2）得从而

由（I）知，   ………………12分