Question

(14分)设函数，其中．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】(I)当时，直接求导，利用导数大（小）于零，求其单调递增（减）区间即可. 

(2)由题意知，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有，到此问题基本得以解决.

(3) 由条件，可知，从而恒成立．这样根据可确定其单调增区间为,减区间为.然后通过比较f(-1)和f(1)求出最大值，根据最大值小于或等于1在[-1,1]上恒成立.来建立b与a的不等式，确定出b的范围.

（Ⅰ）．

当时，．

令，解得，，．

当变化时，，的变化情况如下表：

0

2

－

0

＋

0

－

0

＋

↘

极小值

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以在，内是增函数，在，内是减函数．

（Ⅱ）【解析】
，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须成立，即有．

解此不等式，得．这时，是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立．

当时，；当时，．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，

即，在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．