Question

（14分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（1）用表示，并求的最大值；

（2）判断当时，的大小，并证明．

Answer

（1）．

（2）．证明见解析。

【解析】(I)设公共点为,然后利用导数求出此点处的切线，根据切线重合.解出切点的横坐标，从而可找到b关于a的表达式.然后再利用导数研究其最值即可.

（2）本小题可构造函数，然后利用导数研究其最值，从而比较出f(x)与g(x)的大小关系.

（1）设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，则．于是

当，即时，；当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

（2）设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是.

故当时，有，即当时，．