Question

如图所示，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点．

（Ⅰ）证明：平面AA₁C₁C平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析   （Ⅱ）二面角的余弦值为．   

【解析】本试题主要是考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解的综合运用。

（1）根据直三棱柱的性质，可以建立空间直角坐标系，然后利用向量垂直得到面面垂直的证明。

（2）运用平面的法向量和数量积的性质，可以得到两个半平面的法向量的向量的夹角，因此得到求解。

【解析】
解法一：（Ⅰ）∵，∴．

∵三棱柱为直三棱柱，∴

∵，∴平面 

∵平面，∴，而，则．……4分

在中，，

在中，，

∴．同理可得，．

（或：在与中，∵，

∴～，∴，．）

∵，∴．即．

∵，∴平面．            ……6分

（Ⅱ）如图，过作的垂线，垂足为，在平面内作交于点，连，则为二面角的平面角．    ……8分

在中，，．∵～，∴，则，．在中，求得．

在中，由余弦定理，得．

故二面角的余弦值为．         ……12分

解法二：∵，∴．

∵三棱柱为直三棱柱，∴

∵，∴平面．     ……2分

以为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，．           ……4分

（Ⅰ），，，

∵，，

∴，，即，．

∵，∴平面．  ……6分

（Ⅱ）设是平面的法向量，由得

取，则是平面的一个法向量．      ……8分

又是平面的一个法向量，        ……10分

且与二面角的大小相等．

由．

故二面角的余弦值为．