Question

如图,在三棱锥A－BCD中,侧面ABD、ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD＝,BD＝CD＝1,另一个侧面是正三角形

(1)求证：AD^BC

(2)求二面角B－AC－D的大小

(3)在直线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30°角？若存在,确定E的位置；若 

不存在,说明理由.

Answer

(1)见解析    (2) 所求二面角的大小是

(3) 上存在点,且时,与面成角.

【解析】本试题主要考查了立体几何中的线线的垂直的证明，以及二面角的求解问题，线面角的求解的综合运用。

（1）利用线面垂直的性质定理得到证明。

（2）合理的建立空间直角坐标系，表示平面的法向量，借助于向量的数量积的性质定理，表示法向量的夹角，得到二面角的平面角的大小。

（3）对于探索性问题，可以假设存在，然后在此基础上，我们进一步分析斜向量和平面的法向量，利用线面角的大小求解得到。

【解析】
(1)方法一:作面于,连

又,则是正方形.

则

方法二:取的中点,连、,

则有

(2)作于,作交于,

则就是二面角的平面角.

是的中点,且∥

则

由余弦定理得

(3)设为所求的点,作于,连.则∥

就是与面所成的角,则.

设,易得

解得

故线段上存在点,且时,与面成角.

解法二:

（1）作面于,连、、,则四边形是正方形,且,

以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,

则

(2)设平面的法向量为则由知:;

同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,二面角的大小应等于<>

则<>,即所求二面角的大小是.

(3)设是线段上一点,则

平面的一个法向量为

要使与面成角,由图可知与的夹角为,

所以

则,解得,,则

故线段上存在点,且,时与面成角.