Question

对于在区间 [ m，n ] 上有意义的两个函数与，如果对任意，均有，则称与在 [ m，n ] 上是友好的，否则称与在 [ m，n ]是不友好的．现有两个函数与（a > 0且），给定区间．

若与在给定区间上都有意义，求a的取值范围；

讨论与在给定区间上是否友好．

Answer

 (1)

(2) 当时，在上是友好的

  当时，在上是不友好的

【解析】本试题主要是考查了新定义函数是不是友好的，理解概念，并能利用概念来分析新函数是否满足题意，如果满足了，需要求解参数的范围的综合运用。

（1）由题，，又在上有意义

所以，得到参数a的取值范围。

（2）在上是友好的，利用等价转化思想得到

对任意的恒成立

那么研究函数的最值得到。

【解析】
(1) 由题，

又在上有意义

∴

(2) 在上是友好的

对任意的恒成立

现设，

由(1)问知，的对称轴，在区间的左边

∴

∴当时，在上是友好的

  当时，在上是不友好的