Question

（本大题满分18分）本大题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满6分，第3小题满8分.

已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于.

（1）分别判断集合与是否具有性质，并说明理由；

（2）①求证：；

②求证：；

（3）研究当和时，集合中的数列是否一定成等差数列.

Answer

（1）集合不具性质．

（2）见解析；

（3）成等差数列．

【解析】本试题是由创新的试题，利用新定义的理解，分析现有的问题。并能结合数列的知识，求解数列是否为等差数列的判定问题的综合运用。

（1）根据已知条件，对任意，与至少一个属于，则满足性质P，那么对于集合与分别利用定义判定可得。

（2）根据已知关系式得到① 

②。

，

进而求解和式。

（3）①当时，集合中元素一定成等差数列．

②当时，集合中元素不一定成等差数列如中0,1,2,3组成等差数列；中0,2,3,5不组成等差数列．③当时，成等差数列．

【解析】
（1）对于集合：

∴集合具有． ……………………………………………………………2分

对于集合：

，

∴集合不具性质．………………………………………………………… 4分

（2）

① ……………………………… 6分

②

。

。

，

．………………………………………………………10分

（3）①当时，集合中元素一定成等差数列．

证明：当时，

∴．

即，又，∴．

故成等差数列．…………………………………………………………13分

②当时，集合中元素不一定成等差数列．  ………………14分

如中0,1,2,3组成等差数列；中0,2,3,5不组成等差数列．………………15分

③当时，成等差数列．

证明：当时，

又

。

成等差数列．……………………………………………………18分