Question

（本小题满分12分）

已知函数（，实数，为常数）．

（Ⅰ）若，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若，讨论函数的单调性．

Answer

（Ⅰ）;

（Ⅱ）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．

【解析】（1）把，代入，可求出，当，由点斜式方程写出曲线的切线方程，再化为一般式；（2）把代入得， ，注意定义域，令，得，．需讨论与0和1的大小得或的的范围，就是原函数的增区间或减区间.

（Ⅰ）因为，所以函数，

又，………………………………………………2分

所以

即在处的切线方程为…………………………………5分

（Ⅱ）因为，所以，则

       令，得，．……………………………………………7分

（1）当，即时，函数的单调递减区间为，

单调递增区间为；…………………………………………8分

      （2）当，即时，，的变化情况如下表：

          所以，函数的单调递增区间为，，

单调递减区间为；…………………………9分

（3）当，即时，函数的单调递增区间为；………10分

     （4）当，即时，，的变化情况如下表：

 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；……………………………………11分

       综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．…………………………12分