Question

( 本小题满分12分)

已知点是离心率为的椭圆：上的一点．斜率为的直线交椭圆于、两点，且、、三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？

（Ⅲ）求证：直线、的斜率之和为定值．

Answer

（Ⅰ） 

       （Ⅱ）当时，的面积最大，最大值为；

  （Ⅲ）见解析。

【解析】（1）在椭圆中，有，点在椭圆上，得到，离心率为，即，三个方程三个参数，可解出，得椭圆的方程；（2）设出直线的斜截式方程与椭圆方程联立，保证判别式大于0，设出点的坐标，利用跟与系数的关系和弦长公式求出的长，再由点到直线的距离公式求得点到直线BD的距离，就得到的面积，利用不等式求出或二次函数的性质求出最大值.

（Ⅰ），  ，

∴，，

∴    ………………………………………………4分

       （Ⅱ）设直线BD的方程为

  ………………………①

    ………………………②

，

设为点到直线BD：的距离，

 ∴

∴ ，当且仅当时取等号.

因为，所以当时，的面积最大，最大值为………9分

  （Ⅲ）设，，直线、的斜率分别为： 、，则

= …………………………（*）

 将（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得

=0，

即0………………………………………………………………12分