Question

( 本小题满分12分)

已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合

Answer

(Ⅰ) 证明：见解析；

（Ⅱ）证明：见解析；

（Ⅲ）．

【解析】（1）因为，对任意的且，有．所以两边分别相加得.即.（2）由(Ⅰ)可得；同理，所以，即.（3）由（1）知，令，可取大于1的任意整数，令；同理令；；，则，令，则，令，则，令，则，令.就得到满足条件的一个集合.

(Ⅰ) 证明：依题意有，又，

      因此．

      可得．

      所以．

      即．                    …………………4分

（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．

               又，可得，因此．

             同理，可知．

             又，可得，

             所以均成立．

             当时，取，则，

             可知．

             又当时，．

             所以．   ……………………………………………………8分

（Ⅲ）【解析】
对于任意，，

由可知，

，即．

因此，只需对，成立即可．

因为；；；，

因此可设；；；；．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

由，可得，取．

所以满足条件的一个集合．……………12分

其它解法，请酌情给分.