Question

设数列的前项和为，且满足.

（Ⅰ）求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）求通项公式；

（Ⅲ）若数列是首项为1，公差为2的等差数列,求数列的前项和为.

Answer

（Ⅰ）见解析    （Ⅱ）.  （Ⅲ）.

【解析】(I)根据,可得,

从而可证明：为等比数列.

(II)在（I）的基础上先求出的通项公式，然后再根据Sn求出an.

(III)先求出,

再根据an的通项公式求出bn,由于,所以易采用错位相减的方法求和

证明：（Ⅰ）因为 ,所以 . 又,

所以 是首项为，公比为的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得.当时，.

当时， .

故.

（Ⅲ）因为 数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以.所以 .

        所以 .

        所以 .

 所以

.

 所以 .