Question

（满分12分）已知数列的前n项和满足（n为正整数）.

（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）令，，试比较与的大小，并予证明.

Answer

（I）；

(II)当，当时 ，.证明见解析.

【解析】本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和错位相减法求和的综合运用。

（1）借助于已知中的通项公式和前n项和的关系式，得到数列an的通项公式，然后利用得到证明。

（2）根据上一问中的结论，然后结合错位相减法的数学思想，分析等比数列的公比，两边同乘以公比，再作差得到结论。

【解析】
（I）令n=1，可得

当时

.

  .                   数列是首项为1，公差为2的等差数列.

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇

(II)由（I）得，所以

由①-②得 

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由                  

可猜想当证明如下：

证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。

（2）假设时

所以当时猜想也成立

综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有．．．．．．．．．．．．．．．１２＇

证法2：当时

综上所述，当，当时