Question

（满分12分）设是抛物线（p>0）的内接正三角形（为坐标原点），其面积为；点M是直线：上的动点，过点M作抛物线的切线MP、MQ，P、Q为切点．

（1）求抛物线的方程；

（2）直线PQ是否过定点，若过定点求出定点坐标；若不过定点，说明理由；

（3）求MPQ面积的最小值及相应的直线PQ的方程．

Answer

（１）； （２）直线ＰＱ过定点；

（３）

即，ＭＰＱ面积有最小值．此时直线ＰＱ的方程是：．．

【解析】本试题主要是考查了抛物线的方程的求解，以及直线方程的求解，和三角形面积的最值的求解的综合运用。

（1）利用其性质得到抛物线的方程；

（2）假设直线PQ过定点，那么分析其方程的特点发现结论。

（3）结合三角形的面积公式，而控制得到直线与抛物线联立方程组的思想表示弦长，然后得到求解。

【解析】
（１）．因为正面积是，设边长为，

则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１＇

又设，，

，

，所以点Ａ,Ｂ关于轴对称，．．．．．．．．．．．．．．２＇

于是令可得，抛物线方程是：；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇

（２）．设，切点，则切线ＭＰ:，ＭＱ：，相较于Ｍ,所以，可得直线ＰＱ的方程：

当时，与无关，所以直线ＰＱ过定点；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８＇

（３）. 设，，由（２）知直线PQ的方程是：，

，

，．．．．．．．．．．．．．１０＇

又点M到直线PQ的距离为，

所以．．．．12＇

即，ＭＰＱ面积有最小值．此时直线ＰＱ的方程是：．．