Question

（满分14分）设函数

（1）设曲线在点（1，）处的切线与x轴平行．

     ① 求的最值；

     ② 若数列满足（为自然对数的底数），，

       求证： ．

（2）设方程的实根为．

求证：对任意，存在使成立．

Answer

【解析】
（1）①的最小值为。无最大值；②见解析；（2）见解析.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调性和导数几何意义的运用，以及不等式的证明的综合问题

（1）第一问利用已知条件得打参数m的值，然后求解导数。判定其单调性，求解函数的单调区间，从而得到最值和放缩法得到不等式的证明

（2）第二问中运用函数与方程思想，来分析方程的解的问题。并构造函数来证明不等式 成立。

【解析】
（1）由已知，

①。当时

当时。则在（0,1）上是减函数，在上是增函数。的最小值为。无最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇

②（当且仅当时取到等号）

即且

即

则。又

即

则故不等式成立。．．．．．．．．．．．９＇

（2）设故在上递增。

又

所以方程即在上有唯一根且而不等式

不妨设

设

设集合

即存在成立。

那么不等式也成立

故对任意使得成立．．．14＇