Question

（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）

已知函数的反函数为，定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”．

（1）判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；

（2）若，其中满足“2和性质”，则是否存在实数a，使得

对任意的恒成立？若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）函数不满足“1和性质”；

（2）当使得对任意的恒成立

【解析】(1)首先搞清楚什么样的函数具有“和性质”．本小题只要证明与互为反函数，即可说明y=f(x)满足“1和性质”.

(2)设函数满足“2和性质”，再求出其反函数，根据互为反函数，可求出k,b 的值.进而确定F(x),同时可研究其单调性.利用其单调性解再转化为不等式恒成立问题解决.

（1）函数的反函数是，

             而其反函数为

,  故函数不满足“1和性质”；

．．．．．．6分

（2）设函数满足“2和性质”，

，而，得反函数

由“2和性质”定义可知=对恒成立，

即函数，，在上递减，．．．．．．9分

所以假设存在实数满足，即对任意的恒成立，它等价于在上恒成立. ，，易得.而知所以.综合以上有当使得对任意的恒成立．．．．．．．13分