Question

(本小题满分12分)如图1所示，在中，，，，为的平分线，点在线段上，.如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积.

Answer

【解析】
（1）见解析；

（2）V= ×S△DEC×h= × ×S△ABC×h= × × ×3×3× =

【解析】本试题主要是考查了立体几何中线面位置关系的运用，以及锥体体积的运算。

（1）取AC的中点P，连接DP，证明DP⊥AC，∠EDC=90°，ED⊥DC；利用平面与平面垂直的性质证明DE⊥平面BCD；

（2）说明G为EC的中点，求出B到DC的距离h，说明到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．利用S△DEC=×S△ABC，

【解析】
（1）取AC的中点P，连接DP，因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，

所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP= 3 ，∠DCP=30°，∠PDC=60°，

又点E在线段AC上，CE=4．所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，

∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；

∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC

∴DE⊥平面BCD；

（2）若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，

因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，

所以BD= 3 ，DC2= 32+(  )2 =2，

所以B到DC的距离h=BD•BC DC =  =，

因为平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC，

所以B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高．

三棱锥B-DEG的体积：V= ×S△DEC×h= × ×S△ABC×h= × × ×3×3× =