Question

(本小题满分13分)已知矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上，

（1）求矩形的外接圆的方程；

（2）已知直线，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线的方程．

Answer

【解析】
（1）由且，点在边所在的直线上

所在直线的方程是：即      由得                                       

矩形ABCD的外接圆的方程是：

（2）直线的方程可化为：

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在圆内，所以与圆恒相交，

设与圆的交点为，为到的距离）

设与的夹角为，则当时，最大，最短此时的斜率为的斜率的负倒数：，的方程为

即： 

【解析】本试题主要是考查了直线方程和圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的综合运用。

(1) 矩形的对角线交于点，边所在直线的方程为，点在边所在的直线上，得到圆心坐标和半径从而得到圆的方程。

（2）直线的方程可化为：

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在圆内，所以与圆恒相交，

设与圆的交点为，为到的距离）借助于斜率的关系式得到结论。

【解析】
（1）由且，点在边所在的直线上

所在直线的方程是：即      由得                                      

矩形ABCD的外接圆的方程是：

（2）直线的方程可化为：

可看作是过直线和的交点的直线系,即恒过定点由知点在圆内，所以与圆恒相交，

设与圆的交点为，为到的距离）

设与的夹角为，则当时，最大，最短此时的斜率为的斜率的负倒数：，的方程为

即：