Question

(本题满分14分)        

已知函数处取得极值为2．

（Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）若图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（Ⅰ） ．（Ⅱ）．

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用已知条件得到参数关系式得到解析式，以及根据函数的递增性质，得到参数的范围。以及直线与曲线相切的直线斜率的范围。

（1）根据函数处取得极值为2．，那么求函数的解析式；

（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，则可知导函数在给定区间恒大于等于零，分离参数的思想得到，实数m的取值范围；

（Ⅲ）因为图象上的任意一点，直线l与的图象相切于点P，利用导数的几何意义得到，直线l的斜率的取值范围．

【解析】
（Ⅰ）已知函数，∴

又函数处取值极值2，   ∴

即      ∴ ．      …………………… 5分

（Ⅱ）∵，得

所以的单调增区间为[，1]．

因函数上单调递增，        则有，

解得上为增函数．  ………………… 9分

（Ⅲ）∵，∴．

直线l的斜率,

即, 则

从而得k的取值范围是．                     ……………………… 14分