Question

(本题满分13分)

已知直线与椭圆相交于A、B两点．

   （Ⅰ）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；

   （Ⅱ）若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer

【解析】
（Ⅰ）椭圆的方程为 ，

  ；

（II）长轴长的最大值为．

【解析】本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

（1）根据题意的几何性质，得到系数a,b,c的关系式，进而得到椭圆的方程的求解。

（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后分析向量的数量积为零表示垂直，以及结合椭圆的离心率的范围得到所求。

【解析】
（Ⅰ）   

    ∴椭圆的方程为                             ……………………… 2分

    联立

                                 …………………… 6分

（II）

      整理得 

    整理得：                        

    代入上式得

    由此得,故长轴长的最大值为．

                                                ………………………………… 13分