Question

阅读下面材料：

    根据两角和与差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:

;

 (Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.

(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

Answer

 (Ⅰ)证明见解析    (Ⅱ) 为直角三角形

【解析】本试题主要考查了三角函数公式的化简，和解三角形和类比推理的综合运用。

（1）利用两角和差的余弦公式，进行联立方程组，求解结论。

（2）利用二倍角公式展开，升幂将角，然后得到三边平方和的关系式，从而确定三角形的形状为直角三角形。

解法一：(Ⅰ)证明:因为，------①

          ，------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

令有，

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化为

       ,………………………………8分

       所以.…………………………………9分

设的三个内角A,B,C所对的边分别为，

由正弦定理可得.………………………………11分

根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.…………………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,可化为

，……………………8分

因为A,B,C为的内角，所以，

所以又因为，所以,

所以    从而.………………………9分

又,所以，故.   所以为直角三角形.