Question

设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；

（3）若的面积满足，求的值．

Answer

（1）   （2）当且仅当时的最大值为9

（3）

【解析】本试题主要考查了双曲线方程的求解以及双曲线的性质，和直线与双曲线的位置关系的综合运用。

（1）利用双曲线的性质得到关于a,b,c的关系式得到方程的求解。

（2）联立方程组抛物线于双曲线的方程，和韦达定理，以及向量的关系式化简得到最值

（3）利用面积的公式，底乘以高的一半，以及运用向量的数量积表示面积公式得到P的值【解析】

（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：

又双曲线的标准方程为：

（2）将代入到中并整理得：

设则

   又

当且仅当时的最大值为9

（3）直线的方程为：即

到直线的距离为：

又