Question

已知函数

   （I）当的单调区间；

   （II）若函数的最小值；

   （III）若对任意给定的，使得

         的取值范围。

Answer

（I）     （II）

   （III） 使成立。

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。求解函数的单调区间和函数的零点问题，以及方程根的问题的综合运用

（1）利用定义域和函数的导数，判定导数大于零和小于零的解集得到单调区间。

（2）利用要是函数在给定区间无零点，只需要函数值恒大于零即可，然后借助于导数分析最小值大于零即可。

（3）分别分析连个函数的单调性，然后要是满足题意，只需要研究最值和单调性减的关系即可。

【解析】
（I）当 …………1分

由由 

故  …………3分

   （II）因为上恒成立不可能，

故要使函数上无零点，只要对任意的恒成立，

即对恒成立。  …………4分

令

则    …………5分

综上，若函数 …………6分

   （III）

所以，函数 …………7分

故     ①   …………9分

此时，当的变化情况如下：

—

0

+

最小值

②③

即②对任意恒成立。    …………10分

由③式解得：    ④ 

综合①④可知，当

在 

使成立