Question

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB＝4， G为PD的中点，E点在AB上，平面PEC⊥平面PDC．

（1）求证：AG∥平面PEC；  

（2）求点G到平面PEC的距离．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】(I)取PC的中点，H，连接EH，GH，则可以证明四边形AGHE为平行四边形，从而证出AG//EH，问题得解.

（II）在(I)的基础上可以转化为A到平面PEC的距离，然后利用体积法求解即可.

（1）证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA ，∴CD⊥平面PAD   ∴CD⊥AG，

又PD⊥AG，     ∴AG⊥平面PCD．               …………………………2分

在平面PEC内，过点E作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD ，且交线为PC，

∴EF⊥平面PCD．                                   …………………………4分

∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，    ∴AG∥平面PEC．   ………6分

（2）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等

由（1）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD   ∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF ，PA＝AB＝4，

 G为PD中点，FGCD，  ∴FG＝2 ∴ AE＝FG＝2．……………9分

∴  ， 又EF⊥PC，EF＝AG．

∴ ．      

又 ，∴，即，

∴，∴ G点到平面PEC的距离为．………………………12分