Question

 (本小题满分12分) 已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2） 过椭圆C的左焦点的直线与椭圆C相交于两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线相切的圆的方程．

Answer

（1）；（2）.

【解析】(1)由离心率e和椭圆经过点,可得关于a,b,c的两个方程，再结合,可求出a,b的值.

(2)讨论斜率不存在时，和斜率存在时两种情况，当斜率存在时，

可设出直线方程与椭圆方程联立，消去y，得,然后根据韦达定理和弦长公式求出|AB|的长度，再根据点到直线的距离公式求出O到|AB|的距离，从而表示出三角形AOB的面积，根据面积建立关于k的方程，解方程即可.但要注意验证判别式.

【解析】
(1) 设椭圆C的方程为，由题意可得，

又，所以．……………2分

又椭圆C经过点，所以，解得．……………4分

所以，，则椭圆C的方程为．……………6分

(2) 解法一：当直线轴时，经过计算可以得到：，或，，，不符合题意． ……………7分

当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，

由，消去，得．  ……………8分

显然恒成立，设，

则．……………9分

又

．

又圆的半径，

所以．……………10分

即，解得 (舍去)，所以．……11分

故圆的方程为．…………………12分

解法二：设直线的方程为．

由，消去，得，显然恒成立．……8分

设，则．……………9分

所以，

所以．……………10分

化简，得，解得 (舍去)．

又圆的半径，所以．……………11分

故圆的方程为．…………………12分