Question

（14分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上。

⑴求边所在直线的方程；

⑵求矩形外接圆的方程；

⑶若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。

Answer

⑴

⑵

⑶

【解析】本试题主要是考查了直线方程的求解，以及圆的方程的求解和动点的轨迹方程的求解的综合运用。

（1）因为因为边所在直线的方程为，且与垂直所以直线的斜率为。（1分）又因为点在直线上，所以边所在直线的方程可以得到

（2）由直线方程与直线方程联立方程组得到交点的坐标即为圆心的坐标，然后得到圆的半径，进而得到结论。

（3）根据因为动圆过点，所以是该圆的半径又因为动圆与圆外切所以,即结合定义法得到轨迹方程的求解。

【解析】
⑴因为边所在直线的方程为，且与垂直所以直线的斜率为。（1分）又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即。………（4分）

⑵由，解得点的坐标为……（5分）

因为矩形两条对角线的交点为,所以为矩形外接圆的圆心又……………（7分）

从而矩形外接圆的方程为。…（8分）

⑶因为动圆过点，所以是该圆的半径又因为动圆与圆外切所以,即………………………（10分）

故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支……………（11分）

因为实半轴长，半焦距,所以虚半轴长………………………（13分）

从而动圆的圆心的轨迹方程为。………………………（14分）

注：没注明条件扣1分。