Question

（14分）设函数，其中。

⑴当时，判断函数在定义域上的单调性；

⑵求函数的极值点；

⑶证明对任意的正整数，不等式成立。

Answer

⑴当时函数在定义域上单调递增

⑵时，有唯一极小值点；

时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点。

⑶证明见解析

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的单调性和函数的极值，以及函数与不等式的综合运用。

（1）先求解函数的定义域，然后求解导数，令导数大于零或者小于零得到单调区间。

（2）由⑴得当时函数无极值点，接下来对于参数b，进行分类讨论，看导数为零的解，进而确定极值的问题。

（3）当时，函数，令函数，

则,当时，

函数在上单调递增，又,时，恒有

即恒成立，从而得到证明。

【解析】
⑴由题意知的定义域为（1分），

设，其图象的对称轴为，

当时，,即在上恒成立,当时，

当时函数在定义域上单调递增。………………………（3分）

⑵①由⑴得当时函数无极值点………………………（4分）

②时，有两个相同的解

时，，时，

函数在上无极值点………………………（5分）

③当时，有两个不同解，，

时，，即

时，、随的变化情况如下表：

由此表可知时，有唯一极小值点；………………（7分）

当时，，,此时，、随的变化情况如下表：

由此表可知：时，有一个极大值点和一个极小值点；……………（9分）

综上所述：时，有唯一极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点。（10分）

⑶当时，函数，令函数，

则,当时，

函数在上单调递增，又,时，恒有

即恒成立…………………………（12分）

故当时，有…………………………（13分）

对任意正整数，取,则有，故结论成立。……（14分）